Ejercicios de razonamiento matemático competiciones escolares de matemática vol. 1

César Flores Solar y Carlos Pérez Wilson
Enero 2011

Síntesis

Este libro, el primero de una serie, presenta enunciados y soluciones de problemas propuestos en el Campeonato escolar de matemáticas, CEMAT, organizado por la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad de Concepción.
Tiene como objetivos: – Ofrecer a la comunidad escolar recursos para fomentar la creatividad, el ingenio y el razonamiento matemático. – Ofrecer a los Profesores material y temas que le permitan profundizar contenidos matemáticos. – Ofrecer un grupo de problemas de dificultad diversa que permitan accesibilidad para alumnos de diferentes capacidades.

Valor: agotado

PREFACIO

¿De qué puede servir un libro con problemas y soluciones de un Campeonato de Matemática? La pregunta así formulada es bastante amplia, ya que se tiende a juzgar a este tipo de actividades como “jueguitos” sin ninguna otra utilidad más que pasar un buen rato y distraerse.

Sin embargo, esto no es así. En este tipo de ejercicios es posible encontrar un escenario ideal para ejercitar diferentes estrategias de resolución de problemas: analogías, generalizaciones, particularizaciones, bocetos, conjeturas y, sobre todo, la búsqueda del tan importante efecto ¡aha! o eureka, que todos hemos experimentado alguna vez, cuando súbitamente la respuesta o la clave de razonamiento aparece ante nuestro ojos.

Es así como a través de esta colección se han considerado una serie de acertijos, o problemas lógicos, en los cuales no se requiere tener un conocimiento acabado de la matemática o ser experto en ella para poder resolverlos. Además, estos problemas lógicos han sido planteados con un sentido de gradualidad en cuanto a la madurez intelectual que se requiere, madurez que, según los estudios y la evidencia, está estrechamente relacionada con la edad escolar.

Otra ventaja de este tipo de problemas es que su contexto y naturaleza evita asociarlos con “formulas”, o incluso “trucos” clave, que den la idea que, sin conocerlos, son imposibles de resolver. La clave para resolver este tipo de problemas o acertijos lógicos es simplemente razonar, y está fuertemente potenciada con las experiencias previas que se hayan tenido en el tema, las que han permitido en su momento conocer las ventajas, desventajas y oportunidades de cada una de las diferentes estrategias de razonamiento intentadas para resolver un determinado tipo de problema.

Bajo esa perspectiva, no es de extrañar que muchos alumnos, profesores y padres se sorprendan al conocer problemas que tienen más de una respuesta correcta, o bien, más de un modo de llegar al resultado.

Aunque para los matemáticos es algo sabido, nunca está de más recordar que uno “lee libros de matemática” con lápiz y papel. No es una novela la que se tiene en las manos (aun cuando ya hay suficientes historias del abuelo Anacleto como para hacer una). En esta aventura por los problemas de razonamiento, no se logrará nada si uno no se anima a hacerlos “con lápiz y papel”. Cada problema es un reto diferente, y lo que puede ser fácil para algunos, puede no serlo para otros. Lo que puede ser una “estrategia natural” para una persona, puede no serlo para otra. Es lo democrático del razonamiento…

La ventaja de tener el libro (¡y no estar haciendo la prueba en el Campeonato!) es que aquí se dispone de todo el tiempo del mundo para leer, releer, e intentar cada problema, a diferencia de las 2 horas que los alumnos tienen durante los Campeonatos que les organizamos.

Hay que recordar que el posible desánimo que se sienta por no resolver un problema, puede ser rápidamente olvidado por la euforia que se tendrá al resolver otro. A veces, luego de intentarlo y abandonarlo un rato, o pasar a otro problema, o incluso dejarlo y comenzar a hacer otras cosas, la idea llega a la mente sin aviso. Siempre hemos sugerido a nuestros alumnos que antes de abandonar un ejercicio intenten al menos las siguientes estrategias para los problemas propuestos. Transcribimos esos “sabios consejos” a continuación:

  • Estimar:
    Piensa cuáles pueden ser las soluciones y procede por “ensayo y verificación”. Esto te puede dar luces acerca de la dimensión del problema, su dificultad y analizar si toda la información entregada es pertinente.
  • Simplificar el problema:
    Analiza casos particulares, subcasos, casos simples del problema, pues te pueden ayudar a la comprensión de éste. Además, al resolver casos simples, algunos patrones, ideas, relaciones, etc., pueden ser observados con facilidad.
  • Organizar los datos del problema:
    Intenta identificar, clasificar, ordenar la información y los datos que se te presentan. Para ello, trata de usar tablas, diagramas, listas, etc. Esto te permitirá tener mucha información accesible visualmente, desde donde quizá puedas reconocer algunos patrones o nexos.
  • Identificar o conjeturar patrones de comportamiento general:
    Al arreglar los datos, trabajar en casos particulares, etc., puede que observes que ciertos grupos de datos tienen atributos o comportamientos comunes, Quizá esos atributos puedan llevarte hacia la solución que buscas.
  • Hacer diagramas:
    La representación mediante el uso de diagramas ayuda a que el sentido visual puede hacer su aporte. Un diagrama puede servirte para ver al problema como piezas de un rompecabezas que debes armar.
  • Escribir una ecuación:
    Algunos problemas pueden formalizarse con conceptos y relaciones matemáticas precisas, y puedes aprovechar las ventajas del conocimiento matemático adquirido para avanzar hacia la solución.
  • Usar la lógica para deducir:
    Al igual que en las películas de detectives, algunos problemas requieren el uso de la lógica para descubrir ciertas “claves” en tu razonamiento, que validad algunas afirmaciones o que refutan otras. Recuerda por ejemplo, que algunas cosas no pueden “ser y no ser” al mismo tiempo.
  • Explorar las diferentes opciones del problema:
    A veces puedes organizar la resolución del problema, analizándolo a través de varios caminos de acción. Puedes analizar diferentes casos excluyentes uno por uno, para ver si en cada caso vas obteniendo soluciones.
  • Pensar hacia atrás:
    En ocasiones, el camino hacia la solución es difícil de ver, pero mirar desde la solución puede ayudarte para analizar por qué ocurre lo que debe ocurrir. Intenta razonar pensando en ideas tales como para llegar a esto previamente debí haber sido capaz de obtener esto otro, y para ello tuve que lograr aquello.

Por supuesto, en la mayoría de los problemas que resolvemos hacemos uso de más de una de estas estrategias, en ocasiones mezcladas, y a veces sin darnos cuenta de cuál de ellas estamos utilizando.

Al igual que un buen mecánico o un buen gásfiter, aquellos “buenos” revolvedores de problemas tienen en su cabeza toda una “caja de herramientas” con ejercicios y estrategias que han utilizado o resuelto previamente, los cuales tienen a la mano cada vez que enfrentan la resolución de un nuevo problema o desafío matemáticos. Esperamos que este libro sea la primera de las “herramientas” que tengan para poder avanzar en la importante aventura del razonamiento matemático.

Los autores